funktionen

Diese Seite soll dir bei dem Umgang mit Funktionen helfen. Du hast die Wahl zwischen der:

linearen
quadratischen oder der
ganzrationalen Funktion.

Die Lineare Funktion
Die Funktionsgleichung (Zuordnungsvorschrift) lautet y = mx + b oder f(x) = mx + b.
Diese Gleichung enthält Buchstaben, die man Variablen nennt. x ist frei und du kannst dafür irgendeine Zahl (aus dem Definitionsbereich) einsetzen. Das ist bei allen Funktion so.
Die quadratische Funktion
Die quadratische Funktion hat folgende Funktionsgleichung: f(x) = a₂x² + a₁x + a₀
Man bildet diese Funktion, inden zu a₁x+a₀ (oder mx + b) einen quadratischen Term a₂x² hinzufügt.
Die ganzrationale Funktion
Das kann man immer weiter fortsetzen und weitere Potenzen von x anhängen. So kommt man zu der ganzrationalen Funktion.
Übrigens: Sowohl die lineare als auch die quadratische Funktion sind ganzrational.
Grafische Darstellung

In diesem Teil kannst du die Graphen der Funktionen und Punkte eintragen. Dazu hast du zahlreiche Möglickkeiten, das Zeichenblatt zu verändern.
Das Gitternetz (Koordinatensystem) befindet sich bei der Hochkantdarstellung oben, sonst auf der linken Seite. Hier werden die Schaltflächen erklärt:

[+]/[-] vergrößert/ verkleinert die Zeichnefläche (G). Ex [ 1 ] und Ey [ 1 ] sind zwei Textfelder, in denen du die gewünschte Einteilung für die x-Achse (Ex) und die y-Achse (Ey) eintragen kannst. Die Voreinstellung beträgt 1. Das bedeutet, dass jedes Kästchen die Seitenlänge 1 hat. Mit 0.5 ist die Seitenlänge dann 1/2, mit 10 ist die Länge 10, usw.
Die Schaltflächen unter dem Zeichenblatt sind zum Löschen (C = CLEAR) der Graphen und Punkte.
[CLG] löscht den Graphen, der zuletzt gezeichnet wurde.
[CAG] löscht alle Graphen. [CLP] löscht den Punkt, der zuletzt eingetragen wurde.
[CAP] löscht alle Punkte und [CA] löscht alles.

Durch klicken auf das Zeichenblatt, kann der Ursprung (0|0) verschoben werden. Z. B.: Klick oben -> Verschiebung nach oben, oben-rechts -> Verschiebung nach oben rechts, usw.
Klick auf die Mitte setzt den Ursprung wieder genau in die Mitte (Voreinstellung).
Die Lineare Funktion
Die Funktionsgleichung (Zuordnungsvorschrift) lautet y = mx + b oder f(x) = mx + b.
Diese Gleichung enthält eine Reihe von Buchstaben, die man Variablen nennt.
x ist die freie Variable. Für diese kannst du irgendeine Zahl (aus dem Definitionsbereich) einsetzen.
Du erhälst durch eine einfache Berechnung eine weitere Zahl (y).
Dazu ein Beispiel: y = 3x - 2 oder besser f(x) = 3x - 2. Für x = 5 erhält man 3*5 - 2 = 15 - 2 = 13.
Man bekommt das (geordnetes) Zahlenpaar (5 | 13).
Dieses Zahlenpaar kann man als Punkt in ein Koordinatensystem eintragen.
Berechnet man mehrere Paare und trägt diese ebenfalls ein, stellt man fest, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen. Diese Gerade wird auch als Graph bezeichnet.
Bei der linearen Funktion ist der Graph immer eine Gerade.
Jede dieser Geraden hat eine Steigung. Das ist die Variable m. In dem gewählten Beispiel ist die Steigung m = 3.
Außerdem schneidet die Gerade die y-Achse bei b (im Beispiel b = -2).
Das ist der y-Achsenabschnitt. Mit dem Programm kannst du verschiedene Funktionen eingeben und den Graphen (in verschiedenen Farben) zeichnen lassen. Dazu dieht das Gitternetz (Koordinatensystem), was sich auf der linken Seite befindet. Du kannst Punkte berechnen und diese eintragen.
Man kann die Funktionsgleichung bestimmen, wenn man zwei (verschiedene) Punkte kennt. Dann kann man m aus den Differenzen der x- und y-Werten berechnen. Mit m lässt sich auch b bestimmen.
Auch dabei kann dich diese Seite unterstützen.
Die Lineare Funktion
Man kann die Funktionsgleichung bestimmen, wenn man zwei (verschiedene) Punkte kennt. Dann kann man m aus den Differenzen der x- und y-Werte berechnen. Mit m lässt sich dann auch b bestimmen.
Dazu musst du hier die Koordinaten der beiden Punkte A(x₁ | y₁) und B(x₂ | y₂) eingeben.
Das Programm berechnet daraus die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. So erhält man die Funktionsgleichung f(x) = mx + b. Nach der Eingabe musst du auf [ok] klicken. Vorher kannst du eine Farbe wählen, in der die Gerade (der Graph) gezeichnet werden soll.
Wir betrachten folgendes Beispiel: A(4 | -2) und B(-1 | 3). So berechnet man die Steigung m:

m =

\frac{Δ y}{Δ x}

\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

\frac{3 - (-2)}{(-1) - 4}

\frac{5}{-5}

= - 1.
Um b zu bestimmen nutzen wir einen der beiden Funktionswerte.
Wir nehmen f(4) = m*4 + b = -2.
Mit m = - 1 bekommt man -4 + b = -2 <=> b = 2.
Somit lautet die Funktionsgleichung f(x) = -x + 2.
Nun kannst du den Graphen in einer vorher gewählten Farbe zeichnen und andere Punkte berechnen und eintragen lassen. Bestimmung der Nullstellen:

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu ermitteln. Wir gehen von der SF aus: f(x) = a(x - x_s)² + y_s
Für die Nullstelle gilt: 0 = a(x - x_s)² + y_s <=> 0 = (x - x_s)² +

\frac{y_{s}}{a}

Wie geht es jetzt weiter? Es wäre schön, wenn wir die 3. Binomische Formeln anwenden könnten. Diese lautet A² - B² = (A - B) (A + B)
Der erste Term passt A = x - x_s. Der zweite Term muss noch etwas umgeformt werden. Zunächst benötigen wir ein Minuszeichen.
Da sich zwei Minuszeichen aufheben schreiben wir

- \frac{- y_{s}}{a}

. Damit wir ()² erhalten, ziehen wir die Wurzel und quadrieren wieder.
0 = (x - x_s)² -

{(\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}})}^{2}

.
Jetzt passt es endlich mit B =

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

und wir können die 3. Binomische Formel anwenden:
0 = (x - x_s)² -

{(\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}})}^{2}

= (x - x_s -

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

) (x - x_s +

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

)
Ein Produkt wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Das bedeutet:
x = x_s +

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

oder x = x_s -

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

Allerdings ist das Ziehen einer (Quadrat-) Wurzel nicht unproblematisch. Wir unterscheiden drei Fälle:

1. Der Term unter der Wurzel ist negativ, dann gibt es keine Lösung, also keine Nullstellen.
2. Der Term ist Null, dann gibt es genau eine Nullstelle nämlich x = x_s. In diesem Fall liegt der Scheitel genau auf der x-Achse.
3. Der Term unter der Wurzel ist positiv, dann gibt es zwei Nullstellen:
x₁ = x_s +

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

und x₂ = x_s -

\sqrt{\frac{- y_{s}}{a}}

War die NF gegeben, kann man die Nullstellen auch aus a, b und c berechnen.
Wir wissen: x_s =

\frac{- b}{2 a}

und y_s = c -

\frac{b^{2}}{4 a}

.
Wir erhalten x_1/2 =

\frac{- b}{2 a}

+/-

\sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}

.

Sind die Nullstellen ganzzahlig, kann man diese viel leichter bestimmen.
Es gilt ja: f(x) = a(x - x₁)(x + x₂) = a[x² - (x₁+x₂) + x₁x₂]

Dazu ein Beispiel: f(x) = x² - 5x + 6.
6 = 1*6 = 2*3. Also können die Nullstellen nur 1,6 oder -1,-6 oder 2,3 oder -2,-3 lauten. Die Summe muss aber 5 ergeben, so bleiben nur 2 und 3 als Lösung! Diese Methode wird auch als Satz von Vieta bezeichnet.

Mit der Formel x_1/2 =

\frac{- b}{2 a}

+/-

\sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}

erhält man:
x =

- \frac{- 5}{2}

+/-

\sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 6}

\frac{5}{2}

+/-

\frac{1}{2}

.
Also

\frac{5}{2}

\frac{1}{2}

= 3 oder

\frac{5}{2}

\frac{1}{2}

= 2. So geht es natürlich auch.

Die Formel funktioniert allerdings auch mit 'krummen' Zahlen. Wenn du einen Taschenrechner verwenden darfst, ist die Formel immer eine gute Methode!
Besonderheiten und nächste Ableitung

Besonderheiten
Hier wird ermittelt, welche Besonderheiten die Funktion besitzt.
Zunächst wird geprüft, ob es sich um eine gerade, ungerade oder eine biquadratische Funktion handelt.
Enthält f nur ungerade Exponenten, z.B. f(x) = x⁷ -3x ³ + 5x heißt f ungerade. In diesem Fall gilt - f(x) = f(-x). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Enthält f nur gerade Exponenten, z.B. f(x) = 2x⁶ - x ² - 7 heißt f gerade. In diesem fall gilt f(x) = f(-x). Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ein Spezialfall der geraden Funktion ist die biquadratische Funktion. Diese darf nur insgesamt 3 Terme bestitzen. Der Term mit der niedrigen x-Potenz hat als Exponeten geraden die Hälfte vom Grad.
Beispiel: f(x) = 4x⁶ - 7x³ + 5.
Das Besondere daran ist, dass durch die Transformation z = x^Grad/2 f in eine quadratische Funktion umgewandelt wird.
Für das Beispiel: f(z) = 4z² - 7z + 5.
Für f(z) lassen sich gut die Nullstellen berechnen.
Ansonsten ist die Berechnung der Nullstellen eine sehr schwierige Angelegenheit. Bis Grad = 4 gibt es noch Formeln, die allerdings sehr anspruchsvoll sind. Für Grad > 4 gibt es einige iterative (numrérische) Verfahren, die sich der gesuchten Nullstelle schrittweise annähern. Diese werden hier nicht verwendet.
Das Programm kann nur die Nullstellen von speziellen Typen ermitteln. Dazu gehören solche, bei denen man x ausklammern kann.
Beispiel: f(x) = 3x⁵ - 4x³ = x³(3x² - 4).
Da man in der Schule nur mit speziellen Funktionen arbeitet, sollte das reichen.

Das Programm führt auch eine Kurvendiskussion durch. Es bestimmt Hoch, Tiel-, Sattel- und Wendepunkte.
Dazu werden die 1. und die 2. Ableitung gebildet und ausgewertet.
Die 1. Ableitung (bei der linearen Funktion ist das die Steigung m) gibt die Steigung des Graphen in P(x|f(x)) an.
Im Tiefpunkt (Minimum) und im Hochpunkt (Maximum) ist die Steigung Null. Mit dem Vorzeichenwechselkriterium kann man den Unterschied herausfinden:
Im Tiefpunkt wechselt die Steigung von - nach +, im Maximum ist es genau umgekehrt. Liegt dagegen kein Vorzeichenwechsel vor, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Ist f(x) = a_nxⁿ + ... a₂x² + a₁x + a₀
ist f'(x) = na_nx^n-1 + ... + 2a₂ + a₁
Dabei veringert sich der Grad um 1.
Allgemein wird die Steigung mit dem Differenzenquotient (und Differenzialquotient) bestimmt.
Wir kennen diesen bereits von der linearen Funktioen: Δ =

\frac{Δ y}{Δ x}

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an, die durch A(x₁|f(x₁)) und B(x₂|f(x₂)) verläuft.
Die 1. Ableitung f'(x₁) gibt die Steigung der Tangente in dem Punkt A(x₁|f(x₁)). Um diese zu erhalten rückt man den Punkt B immer näher an A heran und bestimmt den Grenzwert (B -> A). Hat man einmal gezeigt, dass die oben angegebene Formel für die Ableitung gilt, benötigt man diesen Grenzwertprozess nur noch für andere Funktionsklassen.

Nächste Ableitung
Die Schaltfläche [nächste Abl.] bestimmt immer die nächste Ableitung der unten angezeigten Funktion. Diese kannst du hier bestimmen lassen und den Graph in das Zeichenblatt eintragen. Sollte das Programm weder Maxima noch Minima ermitteln, kannst du durch die Zeichnung die Nullstellen näherungsweise bestimmen. Das gilt auch für Sattel- und Wendepunkte. Diese fallen durch die Nullstellen der 2. Ableitung auf.